Contoh 3.8 Hal 148 Matematika k-13 Kelas 12

Buktikan bahwa “untuk semua bilangan asli n, jumlah n bilangan ganjil
berurutan pertama sama dengan n²”.

Soal Deret

Berapakah jumlah 1000 suku pertama dari deret berikut

——pengerjaan dengan Mathcad——

Jika ditanya berapa jumlah tak hingga dari deret di  atas maka..

Soal Barisan 4

Diketahui Barisan dengan rumus

Tentukan 10 suku pertama dan gambarkan grafiknya

—–jawaban menggunakan mathcad—–

Soal Barisan 3

Diketahui Barisan dengan rumus

Tentukan 10 suku pertama dan gambarkan grafiknya

——jawaban menggunakan mathcad——

Selamat mencoba…..

Soal Barisan 2

Diketahui barisan dengan Rumus suku ke n

Berapa nilai 10 suku pertama dan gambar dalam grafik

–>

Baiklah, kita akan menjawab soal ini menggunakan mathcad.

pertama ketik ORIGIN=1 untuk memulai penghitungan vektor dimulai dari 1

untuk mencari 10 suku pertama, buat variabel range dengan nama n, beri nilai 1 sampai 10. Ketik n:1;10

Buat rumus barisan, ketik a[n:1/10 SPASI ‘n^2 SPASI –1

Untuk melihat 10 suku pertama, ketik a CTRL+1 =

hasilnya dalam bentuk pecahan dan coba ubah ke dalam format matriks dengan cara. sorot a^T kemudian melalui menu Format-Result pada tab Number Format pilih Fraction kemudian pindah ke tab Display option, klik drop down Matrix display style ke “Matrix”. Klik OK maka hasilnya akan seperti ini

Anda juga bisa melihat hasilnya dalam bentuk tabel seperti ini.

Berikut adalah Grafiknya

Faktorisasi Prima (Mathcad & Maple)

Faktorisasi Prima menggunakan Mathcad dan Maple

Kecemasan belajar matematika? Apa itu?

• Respon rasa takut belajar matematika yang mengganggu, melemahkan reaksi untuk berfikir.
• Sebuah ketakutan melakukan  apapun yang melibatkan angka.
• Mengkhawatirkan pikiran dan ketidakmampuan untuk berkonsentrasi dan mengingat apa yang telah dipelajari.
• Membayangkan kegagalan sebelum mempelajari matematika.
• Tanda fisik meliputi kekakuan otot, sakit perut, berkeringat, sakit kepala, sesak napas, gemetar, atau detak jantung yang cepat.

sumber: fundamental of mathematics (Brooks/Cole)

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang nilainya lebih dari 1 dan hanya memiliki dua faktor (1 dan bilangan itu sendiri). Karena beberapa alasan, banyak ahli matematika tidak memasukkan angka 1 sebagai bilangan prima meskipun memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Beberapa bilangan prima pertama adalah 2,3,5,7, dan 11. Berikut adalah 24 bilangan prima pertama.

sumber: Mastering Technical Mathematic

Bilangan prima memiliki sifat bahwa mereka bisa digunakan untuk mencari faktor. Sifat ini sangat penting dalam dunia matematika, setiap bilangan yang bukan termasuk bilangan prima bisa difaktorkan ke dalam hasil kali bilangan prima. Bilangan hasil kali ini disebut faktorisasi prima.

Ketika anda ingin menemukan faktor prima dari angka yang besar, pertama gunakan kalkulator untuk menemukan akar kuadrat dari angka tersebut, dan kemudian bagi bilangan asli dengan seluruh bilangan prima kurang dari atau sama dengan akar kuadrat tersebut. Jika anda pernah mendapatkan hasil bagi berupa bilangan bulat selama mengerjakan proses ini, maka anda tahu bahwa pembagi dan hasil bagi keduanya adalah faktor dari bilangan asli. Kadangkala hasil bagi berupa bilangan prima, dan kadangkala bukan. Jika bukan bilangan prima, maka bisa difaktorkan lebih lanjut sampai ketemu bilangan prima. Jangan berhenti membagi bilangan asli dengan bilangan prima sampai anda mendapatkan hasilnya baginya kesemuanya adalah bilangan prima.

Biasanya, akar kuadrat dari suatu angka bukanlah bilangan bulat. Jangan khawatir ketika mencari faktor prima. Bulatkan akar kuadratnya ke bilangan bulat di atasnya, dan kemudian mencari semua bilangan prima kurang dari atau sama dengan bilangan itu. Jika tabel di atas belum cukup, anda bisa menemukan banyak daftar bilangan prima di internet, beberapa di antaranya melampaui jauh apa yang anda butuhkan.

Belajar dengan pemahaman

Banyak di antara kita yang telah belajar matematika tanpa memahami. “Belajar dengan pemahaman itu penting untuk memungkinkan siswa bisa memecahkan berbagai permasalahan baru yang akan mereka hadapi di masa mendatang. Dalam beberapa dekade terakhir, penelitian di bidang psikologi dan pendidikan telah diperjelas dan ditekankan pentingnya berbagai jenis pemahaman matematika.

Apakah Pemahaman Matematika itu?

Pembelajaran matematika dengan pemahaman adalah keinginan banyak guru yang berusaha mencapainya. Namun, tidak semua setuju pada apa artinya belajar matematika dengan pemahaman. “Kita memahami sesuatu jika kita melihat bagaimana hal tersebut terkait dan berhubungan ke hal-hal lain yang kita tahu” (Hiebert dkk, 1997, hal 4). Dengan kata lain, sesuatu dalam matematika dipahami jika merupakan bagian dari jaringan atau gagasan yang terhubung, fakta, dan prosedur. Pemahaman bukalah gagasan keseleruhan atau tidak sama sekali. Pemahaman tumbuh sebagai hubungan baru antara gagasan yang dibangun dari waktu ke waktu.

Mata Pelajaran Matematika

Jika anda bertanya kepada siswa sd atau smp mengenai apa itu matematika, mereka mungkin akan menjawab bahwa matematika adalah berhubungan dengan angka, penghitungan, dan aturan. Orang tua mereka mungkin juga akan menjawab dengan jawaban yang sama berdasarkan pengalaman mereka dengan matematika. Walaupun penghitungan adalah bagian dari matematika dan rumus yang kita pelajari sangat berguna, mereka sebenarnya mewakili disiplin ilmu. Untuk menggairahkan siswa belajar matematika, Para Guru harus mengerti disiplin ilmu dan kemudian mengajarkan bagaimana mengkomunikasikan pengetahuan ini kepada siswanya melalui tugas yang mereka pilih dan aksi mereka sebagai guru.

Apakah Matematika itu?

Beberapa orang berfikir ilmu matematika adalah kumpulan aturan dan rumus, dimana yang lain memandang bahwa ilmu matematika sebagai kemampuan untuk mengamati dan memahami pola, melihat hubungannya, dan menggunakan kemampuan penyelesaian masalah. Ilmu matematika adalah, terpenting, usaha manusia. Menurut ahli matematika Keith Devlin (1994,hal 6) “Matematika, ilmu pola, adalah cara melihat dunia yang kita diami, baik dari segi fisika, biologi, dan sosiologi, dan dunia akal fikiran kita”. Ilmu matematika sangatlah penuh daya cipta, dan seringkali disamakan dengan musik atau puisi. Ilmu matematika, sebagai mata pelajaran, selalu berkembang dalam merespon kebutuhan masyarakat.

Ilmu Matematika adalah cara berfikir. Pengetahuan matematika meresap kehidupan sehari-hari. Langkah-langkah yang dipelajari dari matematika membantu orang membuat keputusan dalam dunia nyata dengan mengajarkan mereka bagaimana mengorganisasi dan memprioritaskan informasi, mengajukan dan menyeleseikan masalah, menafsirkan kuantitatif, atau terukur, data, berfikir fleksibel, analisa situasi, dan mengerti dan menggunakan kebutuhan teknologi untuk menjadi “tahu”. Sederhananya, matematika membantu orang mengarahkan kehidupannya menjadi lebih sukses.

Pengetahuan matematika adalah alat yang berguna untuk menjelajah semua bagian kehidupan: pribadi (membandingkan harga di supermarket), profesional (menggunakan lembar kerja/spreedsheet untuk mengenali kecenderungan), dan budaya (menafsirkan simbol menggunakan asal keturunan). Sering berkembangnya teknologi menjadi semakin kompleks, kebutuhan kompetensi matematis semakin bertambah.

Memperluas Definisi Matematika

Pola matematis berlimpah ruah di alam ini. Seperti, Deret Fibonacci (yaitu deret angka yang suku pertama dan kedua adalah satu dan suku selanjutnya diperoleh dari jumlah dua suku sebelumnya), yang sering tampak di alam, kumpulan pola untuk jumlah biji di kepala bunga matahari, jumlah daun bunga pada bunga aster, dan pohon keluarga tawon. Pola matematis lainnya bisa ditemukan pada tanda yang jelas di binatang seperti diilustrasikan pada gambar dibawah ini, struktur kerang laut.

Matematika di Alam

Pola matematis sangat berlimpah di alam. Bagaimanakah masing masing gambar berikut mengilustrasikan matematika?

Dari zaman lampau sampai sekarang, peradaban telah bersesuai diri dengan pola matematis yang ditemukan di alam untuk menciptakan desain hiasan untuk industri tekstil, barang tembikar, dan tempat tinggal. Pola ini menyajikan banyak tujuan. Beberapa diantaranya hanya untuk hiasan, dimana yang lainnya memiliki makna. Sabuk Wampum merekam pesan, perjanjian, dan peristiwa sejarah. Desain lainnya, seperti motif thunderbird seringkali digunakan orang Indian Amerika sebagai permadani dan selimut, mencerminkan tradisi dan lingkungan pembuatnya. Desain, seperti yang ditemukan pada pakaian kente, memungkinkan menunjukkan lingkungan hidup sang pemilik. Banyak desain yang mengandung bentuk geometri dan melambangkan gambaran matematis yang canggih melalui pola berulang yang kompleks. Walaupun pembuat pola ini tidak sadar ada matematika dalam desainnya, pola ini mengilustrasikan contoh matematika yang nyata dan mengagumkan yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari kita.

Pola Matematis dalam dunia nyata.

Sepanjang sejarah, manusia telah menghiasi pakaian, bangunan, objek religi, dan alat dengan pola yang menarik. Permadani Navajo memperlihatkan simetri. Kain tenun Meksiko memperlihatkan pola berulah dan berkembang.

Penerapan matematika dalam dunia nyata yang umum adalah susunan waktu. Peradaban yang berbeda telah menghitung waktu dalam beberapa cara untuk kebutuhan masyarakatnya dan telah menciptakan kalender dan satuan waktu yang disesuakan dengan kebutuhannya. Penandaan waktu disusun dari tradisi budaya dan keputusan matematis.

Perspektif Berbagai Budaya dalam Matematika

Mencatat waktu

Pernahkan anda berfikir mengapa kita menghitung waktu dalam menit dan jam dan mengapa seminggu ada 7 hari?.

Menit dan Jam. Orang Babilonia kuno memberikan kita 60 detik dalam semenit dan 60 menit dalam sejam. Mereka mengembangkan sistem angka tertulis sekitar 3000 Sebelum Masehi yang menggunakan 5 simbol untuk kuantitas 1, 10, 60, 600, dan 3600. Seluruh angka lainnya adalah kombinasi dari simbol ini. Seorang antropologis Denise Schmandt-Besserat (1999) mempercayai orang babilonia memberikan kuantitas 60 karena serbaguna. Angka itu bisa dibagi oleh 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.

Minggu. Dalam beberapa budaya, kata minggu sama dengan hari pasaran. Hari Pasaran sangat penting dalam masyarakat agraris ketika orang-orang datang bersama untuk menjual dan bertukar barang. Seminggu diterima sebagai 7 hari, namun dalam masyarakat pra modern, seminggu berkisar dari 3 sampai 10 hari. Orang Mesir Kuno menerima seminggu sebagai 10 hari, Kerajaan Romawo awal menerima seminggu sebagai 8 hari. Banyak ahli mempercayai bahwa seminggu dalam 7 hari diciptakan pada era Kerjaaan Romawi pada abad pertama Masehi. Teori yang lain menyatakan bahwa seminggu dalam 7 hari berdasarkan pada 7 planet yang diketahui pada era kuno: Matahari, Bulan, Mars, Merkurius, Yupiter, Venus, dan Saturnus. Tak ada yang tahu secara pasti mengapa seminggu sebagai 7 hari ditetapkan, namun penetapan tersebut diputuskan secara budaya.

Apa yang dilakukan ahli Matematika?

Ahli matematika mengamati pola, baik secara fisik maupun imaginasi. Mereka mengajukan persoalan berdasarkan pengamatan mereka, hasil prediksi, mengembangkan langkah, mengumpulkan data, dan meninjau kembali langkah jika diperlukan. Mereka mengembangkan solusi, meringkas solusi, dan berbagi hasil. Sama seperti seorang musikus, ahli matematika menggunakan notasi khusus untuk merekam dan menyampaikan pengerjaan dan hasil. Mereka jarang bekerja sendiri dan selalu menjalin komunikasi dengann lainnya. Beberapa kerja ahli matematika seketika bisa diterapkan untuk menyeleseikan permasalahan di tempat kerja dan beberapa lebih bersifat teori.

Sampai taraf tertentu, kita semua adalah ahli matematika. Ketika anda melembar bola, membaca peta dan memilih rute, mengepak, atau memutuskan asuransi yang mana untuk diikuti, anda menggunakan matematika. Keahlian dalam bidang matematika, seperti penyeleseian masalah, seringkali ada di setiap pekerjaan. Mereka yang menggunakan matematika secara intensif dalam pekerjaan seperti dalam bidang engineering, sains, statistik, dan teknologi.

Anak-Anak sebagai ahli matematika

Guru seharusnya membantu anak menjadi sadar akan peran matematika dalam kehidupan mereka. Ketika anak benar-benar memahami matematika sebagai disiplin ilmu, mereka mampu memahami pengetahuan matematis yang merupakan alat powerful yang bisa membantu mereka mengikuti perkembangan jaman. Ketika anak mengerti bahwa ahli matematika melakukan dan bagaimana mereka berpikir, mereka bisa mempelajari bahwa mereka juga mampu berpikir seperti ahli matematika.

Pekerjaan guru adalah untuk mendorong anak menggunakan keingintahuan alami mereka dan kemampuan penyeleseian masalah untuk bertanya, seperti mengapa dan bagaimana situasi yang dihadapi saat mengerjakan persoalan matematis. Bacaan anak adalah cara yang baik untuk melibatkan mereka dalam penyelidikan matematis yang membangkitkan pengalaman pribadi mereka.

Ketika anak menyelidiki soal matematika, mereka menggunakan beberapa langkah untuk sampai pada keputusan. Dengan melengkapi proses ini, mereka belajar berpikir seperti ahli matematika.